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平方求和公式(数列平方求和公式)

飞龙2023年02月14日 04:18:07生活经验227

当朋友们看到这个文章时想必是想要了解平方求和公式相关的知识,这里同时多从个角度为大家介绍数列平方求和公式相应的内容。

文章目录一览:

平方求和公式

平方和公式如下:

平方和公式是一个比较常用公式,用于求连续自然数的平方和(Sum of squares),其和又可称为四角锥数,或金字塔数(square pyramidal number)也就是正方形数的级数。

扩展资料:

平方和公式证明:

拆分,直接推导法:

1=1

2²=1+3

3²=1+3+5

4²=1+3+5+7

(n-1)²=1+3+5+7+…+[2(n-1)-1]

n²=1+3+5+7+…+[2n-1]

求和得:

……(*)

因为前n项平方和与前n-1项平方和差为n²

平方求和公式 急

平方和公式n(n+1)(2n+1)/6

即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注:N^2=N的平方)

证明1+4+9+…+n^2=N(N+1)(2N+1)/6

证法一(归纳猜想法):

1、N=1时,1=1(1+1)(2×1+1)/6=1

2、N=2时,1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5

3、设N=x时,公式成立,即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6

则当N=x+1时,

1+4+9+…+x2+(x+1)2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)2

=(x+1)[2(x2)+x+6(x+1)]/6

=(x+1)[2(x2)+7x+6]/6

=(x+1)(2x+3)(x+2)/6

=(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6

也满足公式

4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.

证法二(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1):

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1

.

3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1

2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.

把这n个等式两端分别相加,得:

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

代人上式得:

n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n

整理后得:

1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

平方和的求和公式

平方和公式n(n+1)(2n+1)/6,即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6(注:=N^2=N的平方)。平方和公式是一个比较常用公式,用于求连续自然数的平方和,其和又可称为四角锥数,或金字塔数也就是正方形数的级数。

什么是平方

平方是一种运算,比如,a的平方表示a×a。代数中,一个数的平方是此数与它的本身相乘所得的乘积,一个元素的平方是此元素与它的本身相乘所得的乘积,平方也可视为求指数为2的幂的值。

常用平方根

√0=0(表示根号0等于0,下同)

√1=1

√2=1.4142135623731

√3=1.73205080756888

√4=2

√5=2.23606797749979

√6=2.44948974278318

√7=2.64575131106459

√8=2.82842712474619

√9=3

√10=3.16227766016838

平方求和公式的介绍就聊到这里吧,感谢你花时间阅读本站内容,更多关于数列平方求和公式、平方求和公式的信息别忘了在本站进行查找喔。

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